ولد عزيز بدوار أكَرض اوضاض بتافراوت، أكمل دراسته في الخارج وحصل على شهادة في التسيير الإداري بجامعة شيربروك الكندية سنة 1986، عاد إلى المغرب ليصبح بعدها رئيس مجموعة أكوا وهي شركة قابضة تسيطر على عشرات الشركات المتخصصة في توزيع البنزين والاتصالات والخدمات. وانتخب ما بين 2003 و 2007 ريئسا لمجلس جهة سوس ماسة درعة. كما كان عضوا بمؤسسة محمد السادس لحماية البيئة، وعضوا متصرفا بمؤسسة محمد السادس لإدماج السجناء. وهو عضو في مكتب الاتحاد العام لمقاولات المغرب وعضو مجلس إدارة البنك المغربي للتجارة الخارجية وعضو في مؤسسة "أكاديميا" ومجلس إدارة "بنك المغرب"، وسبق أن كان رئيسا لتجمع النفطيين المغاربة. وعضو في خلية التفكير التي أسسها الملك الحسن الثاني سنة 1999 المعروفة ب"مجموعة 14". وفي 29 أكتوبر 2016 انتخب أخنوش بالأغلبية رئيسا لحزب التجمع الوطني للأحرار.
التقى أخنوش مع مبعوث الأمم المتحدة الخاص للتغير المناخي جوناثان بيرشينغ، وتباحث الاثنان حول تحضيرات مؤتمر الأمم المتحدة للتغير المناخي عام 2016 الذي كان عُقِد في المغرب.